Construction d’un ennéagone régulier
Géométrie sacrée ennéanaire

Construction d’un ennéagone régulier

Construction par neusis

Un ennéagone régulier n’est pas constructible avec seulement une règle (non marquée) et un compas, car le nombre 9 ne satisfait pas la condition du théorème de Gauss-Wantzel. Il l’est, par contre, « par neusis », avec une règle marquée et un compas.

Pour construire un ennéagone régulier dont un des côtés est le segment AB, de longueur u, on procède ainsi :

  • Appelons D1 la droite contenant A et B.
  • Tracer les cercles C1 de centre A passant par B, et le cercle C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan d’origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l’ennéagone.
  • Tracer la droite D2 passant par E et F.
  • Tracer le cercle C3 de centre F passant par A.
  • Tracer les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B.
  • Marquer la règle de deux points X et Y distants de u égal au segment AB qui est le côté du triangle équilatéral.
  • Faire glisser la règle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu’à ce que la marque Y de la règle se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3.
  • Tracer le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J étant le point situé dans le demi-plan d’origine D5 contenant A.
  • Tracer la droite D6 passant par I et J. Elle coupe D2 en K.
  • Tracer le cercle C6 de centre K passant par A. Il passe aussi par B, G et J.
  • C6 coupe D2 en un point O dans le demi-plan d’origine D1 contenant K.
  • C6 coupe D4, C1 et C2, en des points autres que les points A ou B, respectivement en L, M et N.
  • Tracer la droite D7 passant par K et H. Elle coupe C6 en P dans le demi-plan d’origine D5 contenant N.
  • Le polygone ABNPGOLJM est l’ennéagone recherché.

La démonstration complète est un peu longue mais relève de la géométrie élémentaire.

Construction de l’ennéagone par neusis XY

Plus simple avec Gérard Villemin et erreur de 1%

— Je choisis la longueur du segment AB, sur la droite D1, et au compas je positionne mes chiffres 5, 3(B), 4(A), 8, sur la droite D1.
— Ensuite au compas, je construit le triangle équilatéral 5 8 9, les cotés étant égaux à 58, et les points intermédiaires 21 et 76, intersection des cercles de rayon AB et de centres 5, 8, et 9. Mon triangle ennéanaire est alors construit.
— Je détermine le centre O du cercle circonscrit 5 8 9 qui est à l’intersection des médianes, qui sont aussi les hauteurs et les bissectrices du grand triangle équilatéral 5 8 9. Le plus précis consiste à construire au compas les bissectrices des angles par l’intersection des cercles des centres des deux sommets opposés 8 et 9 et de rayon 89 pour l’angle 5.
 Ensuite méthode approchée de Gérard Villemin : Je trace un cercle de centre G milieu du segment 24 et rayon G7 = G6. Ce cercle G coupe le cercle O au deux points recherchés 1′ et 3′. Je fais de même pour 4′ et 6′ En partant du milieu du segment 73, et du segment 16 pour 2’et 7′. Le calcul trigonométrique nous donne une erreur de 0,4 degré sur les angles des secteurs de 40°.

Plus simple par trisection par neusis d’un angle de 120°

Dans la première figure considérons le cercle de centre B et de rayon AB, pour la trisection de l’angle obtus D1-B-D4 de 120°, faire glisser la règle marquée du segment AB en la faisant pivoter autour du point F, jusqu’à obtenir une sécante FIJ telle que IJ = AB, I étant un point du cercle O, et J un point de la droite D1. L’angle A-B-I fait alors 40°. Il ne suffit plus qu’à reporter au compas les neuf arcs de cercle de 40° sur le cercle de centre B pour construire l’ennéagone. Une construction rapide mais peu précise, vu l’angle formé par le cercle de centre B et la droite F I J.

Le plus simple

Avec un rapporteur d’angle marqué tous les 40° évidemment.

voir aussi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Enn%C3%A9agone

Les autres formes élémentaires

Hénagone 
Digone 
Triangle 
Carré
Pentagone régulier convexe
Hexagone 
Heptagone 
Octogone


Une oeuvre de Pascale Massé
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Ennéa Almeshin

Ennéa Almeshin est l'avatar féminin de Jean-Louis Tripon. Elle est Pei Jing, Première ministre de la RP de Chine dans le roman ATARAX. Elle prétend venir de la troisième planète invisible de l'étoile Aldébaran dans le Taurus, et que Jean-Louis Tripon est son avatar Frawen favori.

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